Teste de hipóteses para a razão de duas variâncias

O teste de hipóteses para a razão de duas variâncias considera que duas populações normais e independentes, sejam de interesse, sendo desconhecidas as médias μ₁ e μ₂, e as variâncias σ₁² e σ₂² da população, deseja-se testar as hipóteses relativas à igualdade das duas variâncias.

 

Então, sejam duas amostras aleatórias de tamanho n1 e n2, com variâncias amostrais S₁² e S₂², provenientes das populações 1 e 2, deseja-se testar as seguintes hipóteses:

 

• H₀: σ₁² = σ₂² = σ²

 

• H₁: σ₁² ≠ σ₂²

 

Qual distribuição de probabilidades é requerida para esse teste de hipóteses?

 

De acordo com Montgomery (2013) para o desenvolvimento de um procedimento de teste para essas hipóteses é requerida a distribuição F de probabilidades.

 

E ainda, conforme Montgomery e Runger (2014) um procedimento de teste de hipóteses para a razão de duas variâncias é baseado no seguinte resultado.

 

Seja X₁₁, X₁₂, …, X_1n1 uma amostra aleatória proveniente de uma população normal, com média μ₁ e variância σ₁² e X₂₁, X₂₂, …, X_2n2 uma amostra aleatória proveniente de uma população normal, com média μ₂ e variância σ₂² e que ambas as populações normais sejam independentes e que S₁² e S₂² sejam as variâncias das amostras. Então, a razão apresentada pela equação 1

 

             (1)

 

tem uma distribuição F, com n1-1 graus de liberdade no numerador e n2-1 graus de liberdade no denominador.

 

Lembrem-se as duas populações devem ser normais e independentes

 

Esse resultado é fundamentado no fato de que (n1-1)S₁²/σ₁² e (n2-1)S₂²/σ₂² são variáveis aleatórias qui-quadrado com n1-1 e n2-1 graus de liberdade, respectivamente e de que as duas populações normais sejam independentes.

 

De acordo com Montgomery (2013) a estatística de teste utilizada para verificação da igualdade de variâncias sujeita a hipótese nula H₀: σ₁² = σ₂² é

 

                              (2)

 

E assim, uma vez escolhido o nível α de significância, para cada hipótese alternativa H₁, têm-se os critérios de rejeição determinados pelo valor tabelado de F.

 

• Teste bilateral 

H₁: σ₁² ≠ σ₂²                              f₀ > f_α/2, _{n1-1, n2-1} ou f₀ < f1-α/2, n1-1, n2-1

 

• Teste unilateral direito

H₁: σ₁² > σ₂²                              f₀ > f_α, _{n1-1, n2-1}

 

• Teste unilateral esquerdo

H₁: σ₁² < σ₂²                              f₀ < f_1-α, _{n1-1, n2-1}

 

Onde n1-1 e n2-1 são, respectivamente, os graus de liberdade associados ao numerador e ao denominador da estatística de teste.

 

Figura 1 – As áreas sombreadas são as regiões de rejeição para o teste de hipóteses para duas variâncias

 

Por que usar o teste de hipóteses para duas variâncias?

 

Este teste é utilizado para determinar se as variâncias (σ²) ou desvios padrão (σ) de duas amostras diferem significativamente entre si, ou seja, compara as variâncias de duas amostras.

 

Exemplo de teste de hipóteses para razão de duas variâncias

 

Suponha que onze observações do módulo resiliente de uma mistura cerâmica do tipo A são medidas, tendo uma média de 18,42 psi e um desvio padrão da amostra igual a 2,77 psi. Em seguida, dez observações do módulo resiliente de uma mistura cerâmica do tipo B são medidas, tendo uma média de 19,28 psi e um desvio padrão da amostra igual a 2,41 psi.

 

Dessa forma, a pergunta a ser feita é: Há evidência suficiente para justificar a afirmação do analista de manufatura de que a cerâmica A tenha uma variação maior do que a do tipo B? Use α = 0,05.

 

A hipótese nula é definida como: H₀: σ₁² = σ₂²

 

A hipótese alternativa escolhida é: H₁: σ₁² ≠ σ₂²

 

Uma vez que não podemos rejeitar a hipótese nula H₀ com um nível de significância de 0,05. Consequentemente, não há evidência forte para indicar que a cerâmica tipo A tenha uma variabilidade maior do que a do tipo B.

 

Figura 2 – Visualização das áreas de aceitação e rejeição para o teste hipóteses

 

Portanto, conclui-se que não há evidência forte de que a cerâmica do tipo A tenha uma variância maior do que a cerâmica do tipo B, ou seja, aceita-se H₀.

 

Existe uma forma mais fácil de realizar o teste de hipóteses para a razão de duas variâncias?

 

Sim, desde que você já tenha entendido o conceito por trás dos testes de hipóteses, você pode utilizar o software Minitab® para realizar os cálculos necessários. Assim, fazer como mostra a figura 3 abrirá a caixa de diálogo da figura 4.

 

Figura 3 – Seleção do teste de hipóteses para duas variâncias

 

Primeiramente, na lista suspensa escolha a opção “desvios padrões amostrais” para trabalhar com os dados sumarizados (pois os dados das amostras não foram apresentados) e preencha os campos “tamanho amostral” e “desvio padrão” e em seguida, clique em “OK” para gerar os resultados.

 

Figura 4 – Selecionando desvios padrões amostrais para o teste de hipóteses

 

A figura 5 mostra a saída do Minitab® e de acordo com o p-valor (0,686), as variâncias são estatisticamente iguais (p-valor > 0,05).

 

Figura 5 – Saída do Minitab® para o teste de hipóteses para duas variâncias

 

O Minitab® também gera um gráfico resumo para o teste conforme apresentado na figura 6.

 

Figura 6 – Gráfico resumo para o teste de hipóteses para duas variâncias

 

Referências

 

MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 7th ed. New York, USA: John Wiley & Sons, 2013.

 

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Applied Statistics and Probability for Engineers. 6th ed. New York, USA: John Wiley & Sons, 2014.

 

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