Teste de hipóteses para a razão de duas variâncias (Teste F)

No contexto de projetos Lean Seis Sigma, a comparação da variabilidade entre processos, materiais ou condições operacionais é recorrente. Sob a suposição de normalidade e independência, essa comparação é tradicionalmente realizada por meio do teste de hipóteses para a razão de duas variâncias ou teste F, fundamentado na distribuição F (Montgomery, 2013).

Problema e hipóteses

Considere duas populações normais e independentes, com médias desconhecidas μ₁ e μ₂​, e variâncias σ₁² = σ₂²​. A partir de duas amostras aleatórias de tamanhos n₁ e n₂​, com variâncias amostrais S₁² e S₂²​, deseja-se testar, por exemplo:

• Hipótese nula (igualdade de variâncias):

H₀: σ₁² = σ₂²

• ​Hipótese alternativa (teste bilateral):

H₁: σ₁² ≠ σ₂²

Também são comuns alternativas unilaterais, quando existe uma afirmação direcional:

• H₁: σ₁² > σ₂²

(a variância do processo 1 é maior que a do processo 2)

• H₁: σ₁² < σ₂²

(a variância do processo 1 é menor que a do processo 2)

Qual distribuição é requerida?

Para desenvolver o procedimento de teste para a razão de duas variâncias, utiliza-se a distribuição F (Montgomery, 2013).

A justificativa é a seguinte: se as amostras vêm de populações normais e independentes, então as quantidades

$$\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \quad \text{e} \quad \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}$$

seguem distribuições qui-quadrado com n₁ – 1 e n₂ – 1 graus de liberdade, respectivamente. A razão apropriada desses termos resulta em uma variável aleatória com distribuição F (Montgomery; Runger, 2014).

Em particular:

$$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F_{(n_1-1,\ n_2-1)}$$

​Estatística de teste (Teste F)

Sob H₀: σ₁² = σ₂²​, a estatística de teste é:

$$f_0 = \frac{S_1^2}{S_2^2}$$

com:

• Graus de liberdade do numerador:

$v_1 = n_1 – 1$

• Graus de liberdade do denominador:

$v_2 = n_2 – 1$

Observação prática (muito importante): em aplicações, é comum colocar a maior variância no numerador para trabalhar com f₀ ≥ 1 e simplificar a leitura (especialmente em testes unilaterais à direita). Se fizer isso, ajuste a hipótese alternativa de forma consistente com a sua pergunta.

Regiões de rejeição

Fixado o nível de significância α, os critérios clássicos são:

Teste bilateral

$$H_1:\ \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$$

​Rejeitar H₀​ se:

$$f_0 > F_{\alpha/2,\ v_1,\ v_2} \quad \text{ou} \quad f_0 < F_{1-\alpha/2,\ v_1,\ v_2}$$

Teste unilateral à direita

$$H_1:\ \sigma_1^2 > \sigma_2^2$$

​Rejeitar H₀​ se:

$$f_0 > F_{\alpha,\ v_1,\ v_2}$$

​Teste unilateral à esquerda

$$H_1:\ \sigma_1^2 < \sigma_2^2$$

​Rejeitar H₀​ se:

$$f_0 < F_{1-\alpha,\ v_1,\ v_2}$$

 

​​

Figura 1: Regiões de rejeição no teste F para comparação de duas variâncias (teste bilateral). Fonte: Elaborada pelo autor.

Por que usar o teste de duas variâncias?

O teste F é utilizado para avaliar se duas amostras apresentam variabilidades estatisticamente diferentes, o que é útil em situações como:

• comparação de variabilidade antes vs. depois de uma melhoria;

• avaliação entre dois fornecedores (consistência do material);

• comparação entre dois equipamentos ou duas linhas;

• verificação de homocedasticidade como premissa em alguns modelos estatísticos.

Exemplo aplicado

Dados:

• Cerâmica A: n₁ = 11, x₁ = 18,42, s₁ = 2,77
• Cerâmica B: n₂ = 10, x₂ = 19,28, s₂ = 2,41

Pergunta: há evidência para afirmar que a cerâmica A tem variabilidade maior do que a B? Nível de significância: α = 0,05.

1) Definição correta das hipóteses (pela pergunta)

Como a afirmação é direcional (“A tem variância maior”), o mais coerente é um teste unilateral:

$$H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \quad \text{vs.} \quad H_1:\ \sigma_1^2 > \sigma_2^2$$

(Se você optar por teste bilateral, ele responde outra pergunta: “são diferentes?”, não necessariamente “A é maior”.)

2) Estatística de teste

$$S_1^2 = 2{,}77^2 = 7{,}6729 \quad;\quad S_2^2 = 2{,}41^2 = 5{,}8081$$

 

$$f_0=\frac{7{,}6729}{5{,}8081}\approx 1{,}321$$

 

Graus de liberdade: v₁ = 10 e v₂ = 9

3) Decisão (via p-valor / software)

Pela saída do Minitab® (p-valor = 0,686), como p-valor > 0,05, não rejeitamos H₀​. Logo, não há evidência estatística suficiente para concluir que a cerâmica A possui variabilidade maior do que a cerâmica B, ao nível de 5% de significância.

Figura 2: Áreas de não rejeição e rejeição no teste F para duas variâncias. Fonte: Elaborada pelo autor.

Uma forma mais simples: fazendo no Minitab®

Se você já compreende a lógica do teste (hipóteses, estatística, α, decisão por p-valor), o Minitab® automatiza o cálculo.

Passo a passo (dados sumarizados):

1. Ao realizar a seleção conforme ilustrado na Figura 3, o software abre a caixa de diálogo exibida na Figura 4.

Figura 3: Seleção do teste de duas variâncias no Minitab®. Fonte: Elaborada pelo autor.

 

2. Na lista suspensa, selecione a opção “desvios padrões amostrais”, pois os dados estão apresentados de forma sumarizada. Em seguida, informe o tamanho amostral e o desvio padrão de cada amostra e clique em “OK” para obter os resultados.

Figura 4: Entrada de dados sumarizados (n e s) para o teste. Fonte: Elaborada pelo autor.

 

3. A Figura 5 apresenta a saída do Minitab® e, com base no p-valor obtido (0,686), não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5%, indicando que não há evidência estatística de diferença entre as variâncias.

Figura 5: Saída do Minitab® com p-valor do teste F. Fonte: Elaborada pelo autor.

 

4. Adicionalmente, o Minitab® fornece um gráfico-resumo do teste, que facilita a visualização dos resultados, conforme apresentado na Figura 6.

Figura 6: Gráfico-resumo do teste F gerado pelo Minitab®. Fonte: Elaborada pelo autor.

Premissas e alerta de uso

O teste de hipóteses para a razão de duas variâncias (teste F) é sensível à não normalidade. Portanto, o requisito “as duas populações devem ser normais e independentes” não é um detalhe: ele é central para a validade do teste (Montgomery, 2013; Montgomery; Runger, 2014). Diferentemente do teste F, que é altamente sensível a desvios da normalidade, os testes de Levene e Brown–Forsythe são considerados mais robustos, pois mantêm melhor controle do erro tipo I na presença de distribuições assimétricas ou com outliers.

Referências

MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 7. ed. New York: John Wiley & Sons, 2013.

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Applied Statistics and Probability for Engineers. 6. ed. New York: John Wiley & Sons, 2014.

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